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(1)，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1，∴收敛半径r=1/ρ=1。
(2)，∵lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=x²/r<1，∴丨x丨<r=1。此时，级数收敛。应用等比级数求和公式求和、求极限，∴∑(-x²)^(n-1)=1/(1+x²)。
(3)，对f(x)两边对x求导，有f'(x)=2x/(1+x²)。应用(2)的结果，∴f'(x)=2x∑(-x²)^(n-1)=2∑[(-1)^(n-1)]x^(2n-1)。两边积分、利用f(0)=0，∴f(x)=2∑[(-1)^(n-1)][1/(2n)]x^(2n)，其中丨x丨<1。
供参考。
(2)，∵lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=x²/r<1，∴丨x丨<r=1。此时，级数收敛。应用等比级数求和公式求和、求极限，∴∑(-x²)^(n-1)=1/(1+x²)。
(3)，对f(x)两边对x求导，有f'(x)=2x/(1+x²)。应用(2)的结果，∴f'(x)=2x∑(-x²)^(n-1)=2∑[(-1)^(n-1)]x^(2n-1)。两边积分、利用f(0)=0，∴f(x)=2∑[(-1)^(n-1)][1/(2n)]x^(2n)，其中丨x丨<1。
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2024-12-15 广告
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