Question

三角函数诱导公式是什么？

Answer 1

诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。 诱导公式有六组，共54个。

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公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等。

• 设α为任意锐角，角度制下的角的表示：

  sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.     cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.

  tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.    cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.

  sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.   csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.

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公式二

π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

• 设α为任意角，弧度制下的角的表示：

  sin（π+α）=-sinα.    cos（π+α）=-cosα.    tan（π+α）=tanα.

  cot（π+α）=cotα.    sec（π+α）=-secα.     csc（π+α）=-cscα.

• 角度制下的角的表示：

  sin（180°+α）=-sinα.   cos（180°+α）=-cosα.   tan（180°+α）=tanα.

  cot（180°+α）=cotα.   sec（180°+α）=-secα.    csc（180°+α）=-cscα

---

公式三

• 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

  sin（-α）=-sinα.   cos（-α）=cosα.   tan（-α）=-tanα.

  cot（-α）=-cotα.   sec（-α）=secα.   csc (-α）=-cscα.

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公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

• 弧度制下的角的表示：

  sin（π-α）=sinα.   cos（π-α）=-cosα.   tan（π-α）=-tanα.

  cot（π-α）=-cotα.   sec（π-α）=-secα.   csc（π-α）=cscα.

• 角度制下的角的表示：

  sin（180°-α）=sinα.   cos（180°-α）=-cosα.   tan（180°-α）=-tanα.

  cot（180°-α）=-cotα.   sec（180°-α）=-secα.   csc（180°-α）=cscα. 

---

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

• 弧度制下的角的表示：

  sin（2π-α）=-sinα.   cos（2π-α）=cosα.   tan（2π-α）=-tanα.

  cot（2π-α）=-cotα.   sec（2π-α）=secα.   csc（2π-α）=-cscα.

• 角度制下的角的表示：

  sin（360°-α）=-sinα.   cos（360°-α）=cosα.   tan（360°-α）=-tanα.

  cot（360°-α）=-cotα.   sec（360°-α）=secα.   csc（360°-α）=-cscα.

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公式六

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）

⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系

• 弧度制下的角的表示：

  sin（π/2+α）=cosα.   cos（π/2+α）=-sinα.   tan（π/2+α）=-cotα.

  cot（π/2+α）=-tanα.   sec（π/2+α）=-cscα.   csc（π/2+α）=secα.

• 角度制下的角的表示：

  sin（90°+α）=cosα.   cos（90°+α）=-sinα.   tan（90°+α）=-cotα.

  cot（90°+α）=-tanα.   sec（90°+α）=-cscα.   csc（90°+α）=secα.

⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系

• 弧度制下的角的表示：

  sin（π/2-α）=cosα.   cos（π/2-α）=sinα.   tan（π/2-α）=cotα.

  cot（π/2-α）=tanα.   sec（π/2-α）=cscα.   csc（π/2-α）=secα.

• 角度制下的角的表示：

  sin (90°-α)=cosα.   cos (90°-α)=sinα.   tan (90°-α)=cotα.

  cot (90°-α)=tanα.   sec (90°-α)=cscα.   csc (90°-α)=secα.

⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系

• 弧度制下的角的表示：

  sin（3π/2+α）=-cosα.   cos（3π/2+α）=sinα.   tan（3π/2+α）=-cotα.

  cot（3π/2+α）=-tanα.   sec（3π/2+α）=cscα.   csc（3π/2+α）=-secα.

• 角度制下的角的表示：

  sin（270°+α）=-cosα.   cos（270°+α）=sinα.   tan（270°+α）=-cotα.

  cot（270°+α）=-tanα.   sec（270°+α）=cscα.   csc（270°+α）=-secα. 

⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系

• 弧度制下的角的表示：

  sin（3π/2-α）=-cosα.   cos（3π/2-α）=-sinα.   tan（3π/2-α）=cotα.

  cot（3π/2-α）=tanα.   sec（3π/2-α）=-cscα.   csc（3π/2-α）=-secα.

• 角度制下的角的表示：

  sin（270°-α）=-cosα.   cos（270°-α）=-sinα.   tan（270°-α）=cotα.

  cot（270°-α）=tanα.   sec（270°-α）=-cscα.   csc（270°-α）=-secα.

---

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“-”；

第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“-”；

第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“-”。 

一全正，二正弦，三双切，四余弦。

Answer 2

诱导公式：

sin(-a) = -sin(a)

cos(-a) = cos(a)

sin(π/2-a) = cos(a)

cos(π/2-a) = sin(a)

sin(π/2+a) = cos(a)

cos(π/2+a) = -sin(a)

sin(π-a) = sin(a)

cos(π-a) = -cos(a)

sin(π+a) = -sin(a)

cos(π+a) = -cos(a)

tgA=tanA = sinA/cosA

万能公式：

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

扩展资料：

利用诱导公式化简求值时的原则

1、“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数。

2、“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数。

3、“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数。

4、“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得。

Answer 3

诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。 诱导公式有六组，共54个。

定义

编辑 播报

常用的诱导公式有以下六组：

公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等。

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

角度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.

cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.

tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.

sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.

csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.

公式二

π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin（π+α）=-sinα.

cos（π+α）=-cosα.

tan（π+α）=tanα.

cot（π+α）=cotα.

sec（π+α）=-secα.

csc（π+α）=-cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）=-sinα.

cos（180°+α）=-cosα.

tan（180°+α）=tanα.

cot（180°+α）=cotα.

sec（180°+α）=-secα.

csc（180°+α）=-cscα. [1] 

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα.

cos（-α）=cosα.

tan（-α）=-tanα.

cot（-α）=-cotα.

sec（-α）=secα.

csc (-α）=-cscα.

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（π-α）=sinα.

cos（π-α）=-cosα.

tan（π-α）=-tanα.

cot（π-α）=-cotα.

sec（π-α）=-secα.

csc（π-α）=cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°-α）=sinα.

cos（180°-α）=-cosα.

tan（180°-α）=-tanα.

cot（180°-α）=-cotα.

sec（180°-α）=-secα.

csc（180°-α）=cscα. [1] 

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（2π-α）=-sinα.

cos（2π-α）=cosα.

tan（2π-α）=-tanα.

cot（2π-α）=-cotα.

sec（2π-α）=secα.

csc（2π-α）=-cscα.

角度制下的角的表示：

sin（360°-α）=-sinα.

cos（360°-α）=cosα.

tan（360°-α）=-tanα.

cot（360°-α）=-cotα.

sec（360°-α）=secα.

csc（360°-α）=-cscα. [1] 

公式六

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）

⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2+α）=cosα.

cos（π/2+α）=-sinα.

tan（π/2+α）=-cotα.

cot（π/2+α）=-tanα.

sec（π/2+α）=-cscα.

csc（π/2+α）=secα. [2] 

角度制下的角的表示：

sin（90°+α）=cosα.

cos（90°+α）=-sinα.

tan（90°+α）=-cotα.

cot（90°+α）=-tanα.

sec（90°+α）=-cscα.

csc（90°+α）=secα. [2] 

⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2-α）=cosα.

cos（π/2-α）=sinα.

tan（π/2-α）=cotα.

cot（π/2-α）=tanα.

sec（π/2-α）=cscα.

csc（π/2-α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin (90°-α)=cosα.

cos (90°-α)=sinα.

tan (90°-α)=cotα.

cot (90°-α)=tanα.

sec (90°-α)=cscα.

csc (90°-α)=secα.

⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2+α）=-cosα.

cos（3π/2+α）=sinα.

tan（3π/2+α）=-cotα.

cot（3π/2+α）=-tanα.

sec（3π/2+α）=cscα.

csc（3π/2+α）=-secα. [2] 

角度制下的角的表示：

sin（270°+α）=-cosα.

cos（270°+α）=sinα.

tan（270°+α）=-cotα.

cot（270°+α）=-tanα.

sec（270°+α）=cscα.

csc（270°+α）=-secα. [2] 

⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2-α）=-cosα.

cos（3π/2-α）=-sinα.

tan（3π/2-α）=cotα.

cot（3π/2-α）=tanα.

sec（3π/2-α）=-cscα.

csc（3π/2-α）=-secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°-α）=-cosα.

cos（270°-α）=-sinα.

tan（270°-α）=cotα.

cot（270°-α）=tanα.

sec（270°-α）=-cscα.

csc（270°-α）=-secα. [3] 

记忆

规律

公式一到公式五函数名未改变， 公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

三角公式的记忆图

上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）

例如：

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα [3] 

口诀

奇变偶不变，符号看象限。

注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“-”；

第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“-”；

第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“-”。 [3] 

一全正，二正弦，三双切，四余弦

Answer 4

三角函数诱导公式：

三角函数的基本公式：

1、公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα

2、公式二：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα

3、公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα

4、公式四：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα

5、公式五：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα

Answer 5

常用的诱导公式有以下六组：

公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等。

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

角度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.

cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.

tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.

sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.

csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.

公式二

π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin（π+α）=-sinα.

cos（π+α）=-cosα.

tan（π+α）=tanα.

cot（π+α）=cotα.

sec（π+α）=-secα.

csc（π+α）=-cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）=-sinα.

cos（180°+α）=-cosα.

tan（180°+α）=tanα.

cot（180°+α）=cotα.

sec（180°+α）=-secα.

csc（180°+α）=-cscα. [1] 

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα.

cos（-α）=cosα.

tan（-α）=-tanα.

cot（-α）=-cotα.

sec（-α）=secα.

csc (-α）=-cscα.

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（π-α）=sinα.

cos（π-α）=-cosα.

tan（π-α）=-tanα.

cot（π-α）=-cotα.

sec（π-α）=-secα.

csc（π-α）=cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°-α）=sinα.

cos（180°-α）=-cosα.

tan（180°-α）=-tanα.

cot（180°-α）=-cotα.

sec（180°-α）=-secα.

csc（180°-α）=cscα. [1] 

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（2π-α）=-sinα.

cos（2π-α）=cosα.

tan（2π-α）=-tanα.

cot（2π-α）=-cotα.

sec（2π-α）=secα.

csc（2π-α）=-cscα.

角度制下的角的表示：

sin（360°-α）=-sinα.

cos（360°-α）=cosα.

tan（360°-α）=-tanα.

cot（360°-α）=-cotα.

sec（360°-α）=secα.

csc（360°-α）=-cscα. [1] 

公式六

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）

⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2+α）=cosα.

cos（π/2+α）=-sinα.

tan（π/2+α）=-cotα.

cot（π/2+α）=-tanα.

sec（π/2+α）=-cscα.

csc（π/2+α）=secα. [2] 

角度制下的角的表示：

sin（90°+α）=cosα.

cos（90°+α）=-sinα.

tan（90°+α）=-cotα.

cot（90°+α）=-tanα.

sec（90°+α）=-cscα.

csc（90°+α）=secα. [2] 

⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2-α）=cosα.

cos（π/2-α）=sinα.

tan（π/2-α）=cotα.

cot（π/2-α）=tanα.

sec（π/2-α）=cscα.

csc（π/2-α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin (90°-α)=cosα.

cos (90°-α)=sinα.

tan (90°-α)=cotα.

cot (90°-α)=tanα.

sec (90°-α)=cscα.

csc (90°-α)=secα.

⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2+α）=-cosα.

cos（3π/2+α）=sinα.

tan（3π/2+α）=-cotα.

cot（3π/2+α）=-tanα.

sec（3π/2+α）=cscα.

csc（3π/2+α）=-secα. [2] 

角度制下的角的表示：

sin（270°+α）=-cosα.

cos（270°+α）=sinα.

tan（270°+α）=-cotα.

cot（270°+α）=-tanα.

sec（270°+α）=cscα.

csc（270°+α）=-secα. [2] 

⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2-α）=-cosα.

cos（3π/2-α）=-sinα.

tan（3π/2-α）=cotα.

cot（3π/2-α）=tanα.

sec（3π/2-α）=-cscα.

csc（3π/2-α）=-secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°-α）=-cosα.

cos（270°-α）=-sinα.

tan（270°-α）=cotα.

cot（270°-α）=tanα.

sec（270°-α）=-cscα.

csc（270°-α）=-secα. [3]

规律

公式一到公式五函数名未改变， 公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

三角公式的记忆图

上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）

例如：

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα [3] 

口诀

奇变偶不变，符号看象限。

注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“-”；

第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“-”；

第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“-”。 [3] 

一全正，二正弦，三双切，四余弦