三角函数诱导公式是什么?
诱导公式是指三角函数中,利用周期性将角度比较大的三角函数,转换为角度比较小的三角函数的公式。 诱导公式有六组,共54个。
公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等。
设α为任意锐角,角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z). cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z).
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z). cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z).
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z). csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z).
公式二
π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
设α为任意角,弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα. cos(π+α)=-cosα. tan(π+α)=tanα.
cot(π+α)=cotα. sec(π+α)=-secα. csc(π+α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα. cos(180°+α)=-cosα. tan(180°+α)=tanα.
cot(180°+α)=cotα. sec(180°+α)=-secα. csc(180°+α)=-cscα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα. cos(-α)=cosα. tan(-α)=-tanα.
cot(-α)=-cotα. sec(-α)=secα. csc (-α)=-cscα.
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(π-α)=sinα. cos(π-α)=-cosα. tan(π-α)=-tanα.
cot(π-α)=-cotα. sec(π-α)=-secα. csc(π-α)=cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα. cos(180°-α)=-cosα. tan(180°-α)=-tanα.
cot(180°-α)=-cotα. sec(180°-α)=-secα. csc(180°-α)=cscα.
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα. cos(2π-α)=cosα. tan(2π-α)=-tanα.
cot(2π-α)=-cotα. sec(2π-α)=secα. csc(2π-α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα. cos(360°-α)=cosα. tan(360°-α)=-tanα.
cot(360°-α)=-cotα. sec(360°-α)=secα. csc(360°-α)=-cscα.
公式六
π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋)
⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα. cos(π/2+α)=-sinα. tan(π/2+α)=-cotα.
cot(π/2+α)=-tanα. sec(π/2+α)=-cscα. csc(π/2+α)=secα.
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα. cos(90°+α)=-sinα. tan(90°+α)=-cotα.
cot(90°+α)=-tanα. sec(90°+α)=-cscα. csc(90°+α)=secα.
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα. cos(π/2-α)=sinα. tan(π/2-α)=cotα.
cot(π/2-α)=tanα. sec(π/2-α)=cscα. csc(π/2-α)=secα.
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα. cos (90°-α)=sinα. tan (90°-α)=cotα.
cot (90°-α)=tanα. sec (90°-α)=cscα. csc (90°-α)=secα.
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα. cos(3π/2+α)=sinα. tan(3π/2+α)=-cotα.
cot(3π/2+α)=-tanα. sec(3π/2+α)=cscα. csc(3π/2+α)=-secα.
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα. cos(270°+α)=sinα. tan(270°+α)=-cotα.
cot(270°+α)=-tanα. sec(270°+α)=cscα. csc(270°+α)=-secα.
⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα. cos(3π/2-α)=-sinα. tan(3π/2-α)=cotα.
cot(3π/2-α)=tanα. sec(3π/2-α)=-cscα. csc(3π/2-α)=-secα.
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα. cos(270°-α)=-sinα. tan(270°-α)=cotα.
cot(270°-α)=tanα. sec(270°-α)=-cscα. csc(270°-α)=-secα.
口诀:奇变偶不变,符号看象限。
注:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角)。
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆:水平诱导名不变;符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦和余割是“+”,其余全部是“-”;
第三象限内只有正切和余切是“+”,其余函数是“-”;
第四象限内只有正割和余弦是“+”,其余全部是“-”。
一全正,二正弦,三双切,四余弦。
诱导公式:
sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
sin(π/2-a) = cos(a)
cos(π/2-a) = sin(a)
sin(π/2+a) = cos(a)
cos(π/2+a) = -sin(a)
sin(π-a) = sin(a)
cos(π-a) = -cos(a)
sin(π+a) = -sin(a)
cos(π+a) = -cos(a)
tgA=tanA = sinA/cosA
万能公式:
sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}
cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}
tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
扩展资料:
利用诱导公式化简求值时的原则
1、“负化正”,运用-α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数。
2、“大化小”,利用k·360°+α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数。
3、“小化锐”,将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数。
4、“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得。
诱导公式是指三角函数中,利用周期性将角度比较大的三角函数,转换为角度比较小的三角函数的公式。 诱导公式有六组,共54个。
定义
编辑 播报
常用的诱导公式有以下六组:
公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等。
设α为任意锐角,弧度制下的角的表示:
角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z).
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z).
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z).
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z).
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z).
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z).
公式二
π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
设α为任意角,弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα.
cos(π+α)=-cosα.
tan(π+α)=tanα.
cot(π+α)=cotα.
sec(π+α)=-secα.
csc(π+α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα.
cos(180°+α)=-cosα.
tan(180°+α)=tanα.
cot(180°+α)=cotα.
sec(180°+α)=-secα.
csc(180°+α)=-cscα. [1]
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα.
cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα.
cot(-α)=-cotα.
sec(-α)=secα.
csc (-α)=-cscα.
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(π-α)=sinα.
cos(π-α)=-cosα.
tan(π-α)=-tanα.
cot(π-α)=-cotα.
sec(π-α)=-secα.
csc(π-α)=cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα.
cos(180°-α)=-cosα.
tan(180°-α)=-tanα.
cot(180°-α)=-cotα.
sec(180°-α)=-secα.
csc(180°-α)=cscα. [1]
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα.
cos(2π-α)=cosα.
tan(2π-α)=-tanα.
cot(2π-α)=-cotα.
sec(2π-α)=secα.
csc(2π-α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα.
cos(360°-α)=cosα.
tan(360°-α)=-tanα.
cot(360°-α)=-cotα.
sec(360°-α)=secα.
csc(360°-α)=-cscα. [1]
公式六
π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋)
⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα.
cos(π/2+α)=-sinα.
tan(π/2+α)=-cotα.
cot(π/2+α)=-tanα.
sec(π/2+α)=-cscα.
csc(π/2+α)=secα. [2]
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα.
cos(90°+α)=-sinα.
tan(90°+α)=-cotα.
cot(90°+α)=-tanα.
sec(90°+α)=-cscα.
csc(90°+α)=secα. [2]
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα.
cos(π/2-α)=sinα.
tan(π/2-α)=cotα.
cot(π/2-α)=tanα.
sec(π/2-α)=cscα.
csc(π/2-α)=secα.
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα.
cos (90°-α)=sinα.
tan (90°-α)=cotα.
cot (90°-α)=tanα.
sec (90°-α)=cscα.
csc (90°-α)=secα.
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα.
cos(3π/2+α)=sinα.
tan(3π/2+α)=-cotα.
cot(3π/2+α)=-tanα.
sec(3π/2+α)=cscα.
csc(3π/2+α)=-secα. [2]
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα.
cos(270°+α)=sinα.
tan(270°+α)=-cotα.
cot(270°+α)=-tanα.
sec(270°+α)=cscα.
csc(270°+α)=-secα. [2]
⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα.
cos(3π/2-α)=-sinα.
tan(3π/2-α)=cotα.
cot(3π/2-α)=tanα.
sec(3π/2-α)=-cscα.
csc(3π/2-α)=-secα.
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα.
cos(270°-α)=-sinα.
tan(270°-α)=cotα.
cot(270°-α)=tanα.
sec(270°-α)=-cscα.
csc(270°-α)=-secα. [3]
记忆
规律
公式一到公式五函数名未改变, 公式六函数名发生改变。
公式一到公式五可简记为:函数名不变,符号看象限。即α+k·360°(k∈Z),﹣α,180°±α,360°-α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
上面这些诱导公式可以概括为:对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)
例如:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。
当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα [3]
口诀
奇变偶不变,符号看象限。
注:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角)。
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆:水平诱导名不变;符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦和余割是“+”,其余全部是“-”;
第三象限内只有正切和余切是“+”,其余函数是“-”;
第四象限内只有正割和余弦是“+”,其余全部是“-”。 [3]
一全正,二正弦,三双切,四余弦
三角函数诱导公式:
三角函数的基本公式:
1、公式一:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
2、公式二:sin(π+α)=—sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα
3、公式三:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα
4、公式四:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα
5、公式五:π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα
常用的诱导公式有以下六组:
公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等。
设α为任意锐角,弧度制下的角的表示:
角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z).
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z).
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z).
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z).
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z).
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z).
公式二
π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
设α为任意角,弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα.
cos(π+α)=-cosα.
tan(π+α)=tanα.
cot(π+α)=cotα.
sec(π+α)=-secα.
csc(π+α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα.
cos(180°+α)=-cosα.
tan(180°+α)=tanα.
cot(180°+α)=cotα.
sec(180°+α)=-secα.
csc(180°+α)=-cscα. [1]
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα.
cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα.
cot(-α)=-cotα.
sec(-α)=secα.
csc (-α)=-cscα.
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(π-α)=sinα.
cos(π-α)=-cosα.
tan(π-α)=-tanα.
cot(π-α)=-cotα.
sec(π-α)=-secα.
csc(π-α)=cscα.
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα.
cos(180°-α)=-cosα.
tan(180°-α)=-tanα.
cot(180°-α)=-cotα.
sec(180°-α)=-secα.
csc(180°-α)=cscα. [1]
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα.
cos(2π-α)=cosα.
tan(2π-α)=-tanα.
cot(2π-α)=-cotα.
sec(2π-α)=secα.
csc(2π-α)=-cscα.
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα.
cos(360°-α)=cosα.
tan(360°-α)=-tanα.
cot(360°-α)=-cotα.
sec(360°-α)=secα.
csc(360°-α)=-cscα. [1]
公式六
π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋)
⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα.
cos(π/2+α)=-sinα.
tan(π/2+α)=-cotα.
cot(π/2+α)=-tanα.
sec(π/2+α)=-cscα.
csc(π/2+α)=secα. [2]
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα.
cos(90°+α)=-sinα.
tan(90°+α)=-cotα.
cot(90°+α)=-tanα.
sec(90°+α)=-cscα.
csc(90°+α)=secα. [2]
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα.
cos(π/2-α)=sinα.
tan(π/2-α)=cotα.
cot(π/2-α)=tanα.
sec(π/2-α)=cscα.
csc(π/2-α)=secα.
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα.
cos (90°-α)=sinα.
tan (90°-α)=cotα.
cot (90°-α)=tanα.
sec (90°-α)=cscα.
csc (90°-α)=secα.
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα.
cos(3π/2+α)=sinα.
tan(3π/2+α)=-cotα.
cot(3π/2+α)=-tanα.
sec(3π/2+α)=cscα.
csc(3π/2+α)=-secα. [2]
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα.
cos(270°+α)=sinα.
tan(270°+α)=-cotα.
cot(270°+α)=-tanα.
sec(270°+α)=cscα.
csc(270°+α)=-secα. [2]
⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα.
cos(3π/2-α)=-sinα.
tan(3π/2-α)=cotα.
cot(3π/2-α)=tanα.
sec(3π/2-α)=-cscα.
csc(3π/2-α)=-secα.
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα.
cos(270°-α)=-sinα.
tan(270°-α)=cotα.
cot(270°-α)=tanα.
sec(270°-α)=-cscα.
csc(270°-α)=-secα. [3]
规律
公式一到公式五函数名未改变, 公式六函数名发生改变。
公式一到公式五可简记为:函数名不变,符号看象限。即α+k·360°(k∈Z),﹣α,180°±α,360°-α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
上面这些诱导公式可以概括为:对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)
例如:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。
当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα [3]
口诀
奇变偶不变,符号看象限。
注:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角)。
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆:水平诱导名不变;符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦和余割是“+”,其余全部是“-”;
第三象限内只有正切和余切是“+”,其余函数是“-”;
第四象限内只有正割和余弦是“+”,其余全部是“-”。 [3]
一全正,二正弦,三双切,四余弦