Question

一道高数重积分题目

设f(x)在[0,1]上连续，a为大于1的常数，试证明： ∫(0→1)dx∫(0→x)[(x-y)^(a-1)]f(y)dy=1/a∫(0→1）y^af(1-y)dy p.s. 需要交换积分次序和换元

Answer 1

∫(0→1)dx∫(0→x)
[(x-y)^(a-1)]f(y)dy
=∫(0→1)dy∫(y→1)
[(x-y)^(a-1)]f(y)dx，对x积分的原函数是f(y)×1/a(x-y)^a
=∫(0→1)
f(y)×1/a(1-y)^a
dy，换元y=1-z
=1/a∫(0→1）z^af(1-z)
dz
=1/a∫(0→1）y^af(1-y)
dy