Question

一道微分方程题？

第七题，解析中，求导后不是还有一个f(0)吗，f(0)去哪了？又因为f(0)=1,所以等式右边不应该是e^x+1吗，再套公式，请解惑！！

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Answer 1

解:∵微分方程为∫(0，x) f(t) dt=e^x-f(x)，
两边同时求导，有f(x)=e^x-f'(x)
∴有f(x)+f'(x)=e^x，e^xf(x)+e^xf'(x)=
e^2x，[f(x)e^x]'=e^2x，
f(x)e^x=0.5e^2x+c(c为任意常数)，
f(x)=0.5e^x+ce^(-x)
∴将结果代入原方程中，有
∫(0，x)[0.5e^t+ce^(-t)]dt=e^x-
[0.5e^x+ce^(-x)]，
[0.5e^x-ce^(-x)]-(0.5-c)=0.5e^x-
ce^(-x)，得:c=0.5
∴方程的解为f(x)=0.5e^x+0.5e^(-x)

Answer 2

∫(0->x) f(t) dt = e^x -f(x)
x=0
0= e^0-f(0)
f(0) =1
∫(0->x) f(t) dt = e^x -f(x)
两边求导
f(x) = e^x -f'(x)
f(x) + f'(x) =e^x
e^x.[ f(x) + f'(x) ]=e^(2x)
∫d[e^x .f(x)] =∫ e^(2x) dx
e^x.f(x) = (1/2)e^(2x) +C
f(0) =1
1 = 1/2 +C
C=1/2
e^x.f(x) = (1/2)e^(2x) +1/2
2e^x.f(x) = e^(2x) +1
f(x) = (e^(2x) +1)/(2e^x)
=[(e^(x) +e^(-x) ]/2

Answer 3