Question

一道复杂的数学几何题。

如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE
1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？
2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并且证明你的结论。（特别提醒，表示角最好用数字）

我知道第一个是菱形。我的思路是先证明它是平行四边形，再利用中垂线即可说明BE=CE，可是好像很难证明出来。求各位大虾们帮帮忙了。尽可能的多写几种证法。谢谢！

Answer 1

因为，∠ACB=∠BDE=90°CF=AE
所以四边形AEFC为平行四边形
EF‖AC 又因为DE垂直平分BC ∴BE=AE=CF 四边形BECF是平行四边形
∵DE垂直平分平行四边形的对角线BC
∴ 四边形BECF是菱形
∠A=45°时，四边形BECF是正方形
根据以上的已知条件和推论得知

Answer 2

• 解：由已知有∠ACB=∠EDB=90度，即同位角相等，可知AC//EF  --> ∠ACE=∠CED（内错角）,∠BED=∠A（同位角）；

• 因为EF垂直平分BC，容易证明三角形BDF全等于三角形CDF；三角形BDE全等于三角形CDE；所以有：BF=CF；BE=CE, ∠CED=∠BED

• 由∠ACE=∠CED,∠CED=∠BED,∠BED=∠A可知∠ACE=∠A,可知三角形AEC为等腰三角形，因而AE=EC; 又AE=CF,所以CE=CF，可知CE=CF=BF=BE,所以四边形BECF为菱形。

• 显然，当∠A=45度时，∠BEC=90度，四边形BECF为正方形

• 这样解答对八年上来说，不需要用到相似三角形的知识，比较合理。

Answer 3

(1)菱形.

∵BC的垂直平分线EF交BC
∴∠FDB=90 BD=DC
∴BE=EC FB=FC
∴∠EBC=∠BCP
∴∠BCA=90
∴∠CBA+∠A=90
∵∠CBA+∠FEB=90 ∴∠FEB=∠A ∴FE‖CA
∴∠A=∠EFC ∵∠BFE=∠EFC ∴∠BFE=∠FEB
∴△BDF≌△BED（AAS）∴FD=DE∴BECF为平行四边形
∵FE⊥BC
∴BECF为菱形

(2)由∠A+∠ACF=180°,
∠ECF=90°时,
四边形BECF是正方形,
又由∠EAC=∠ECA,
所以∠A=(180-90)÷2=45°.

Answer 4

21°