Question

等差数列公式

Answer 1

通项公式
　　等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式
　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
　　以上n均属于正整数.
推论
　　1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
　　2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
　　3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
　　若m+n=2p,则am+an=2ap
　　4.其他推论
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　末项=首项+（项数-1）×公差
　　推论3证明
　　若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
　　如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
　　=2a1+(m+n-2)d
　　同理得,
　　ap+aq=2a1+(p+q-2)d
　　又因为
　　m+n=p+q ;
　　a1,d均为常数
　　所以
　　若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
　　注：1.常数列不一定成立
　　2.m,p,q,n大于等于自然数
等差中项
　　在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.
　　且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式.