Question

空间解析几何

Answer 1

空间几何的代数表示

二维平面几何，可通过建立直角坐标系进行代数表示，二维平面上的点可由二维数组（a，b）表示，二维平面上的直线可由二元一次方程表示。两条直线相交，二元一次方程组有一个解；直线平行，则无解；重叠则有无穷解。

三维空间几何，就可以建立三维坐标系进行代数表示，三维空间上的点可由三维数组（a，b，c）表示，三维空间上的平面可由三元一次方程表示。方程组的解，则表示平面的位置关系。以此类推，n维向量空间（线性空间）几何也可以建立n维空间坐标系，通过n元一次方程组进行求解。

由此可见，二维平面和三维空间只是n维向量空间的特例。在二维平面上，为了方便，可以通过两个不共线的仿射坐标系进行向量代数；三维可以通过三个不共面的向量进行代数；n维向量空间就可以建立线性无关的仿射坐标系进行表示了。

在二维空间中圆锥曲线为二元二次曲线。一般包括椭圆、双曲线、抛物线等。二元二次曲线的一般式可通过坐标变换（旋转消除交叉项，平移消除一次项），转换到标准式。在n维向量空间中，n元二次齐次多项式又称为二次型，可通过线性变换转化为标准二次型。

线性代数中，矩阵和行列式为重要的工具，一般增广矩阵（未知量系数和常数项组合成的矩阵）初等行变换的解为对应的几何关系。简单矩阵的相似可得到合适的坐标系，通过线性变换进行求解，从而得到几何关系，二次型对应对称矩阵。