Question

三角形的重心怎么求

Answer 1

三角形重心是三角形三边中线的交点.
根据重心的性质,三边中线必交于一点.
所以作三角形任意两边的中线,其交点就是此三角形的重心.
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
证明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.
证明：过E作EH平行BF.
∵AE=BE且EH//BF
∴AH=HF=1/2AF（中位线定理）
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE）
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
证明二
证明方法：
在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高H1,H可知OH1=1/3AH 则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方罩李皮的和最小.(等边三角形）
证明方法：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最终得出结论.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,
即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点.
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ,则M点为△ABC的重心,反之也成立.
7、设物差△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同扰卖高三角形面积比为底的比,相同底三角形面积比为高的比.
证明方法：
∵D为BC中点,
∴BD=CD,
又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,
∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理,
∵E为AC中点,
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF.
∴BF=AF,
∴CF为AB边上的中线,
即三角形的三条中线相交于一点.