3X=3Y+6+X的解?

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匿名用户
2021-11-27
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各位正在备考的小伙伴们,大家好!今天我们来学习数量关系中的三元一次方程特定题型的解题技巧。相信很多小伙伴对于赋零法解三元一次方程都有所了解,但是又比较疑惑到底什么情况下使用一定是正确的,为什么有时候赋0法就不适用,今天我们就来解决这个问题。

首先我们先来看一个例题,让大家了解一下赋零法。

例1.(2009 国考)甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了4 3元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?

A. 21元 B. 11元 C. 10元 D. 17元

解析:设签字笔、圆珠笔和铅笔的单价分别为x、y、z,可得两个方程3x+7y+z=32①、4x+10y+z=43②,求x+y+z的和是多少。两个方程三个未知项是无法直接确定x、y、z的具体数值的,提供两种常见思路。

解法一 :凑系数法,因为我们要求的是x+y+z的整体,所以每一项的系数都应该为1,那么我们优先解决系数最复杂的一项,通过观察后发现,两个方程系数最复杂的项应该是x的系数,系数分别为7和10,接下来把7和10的倍数分别枚举下来,分别为7、14、21、28、35和10、20、30、40等,观察后发现他们的公倍数只有21减去20为1,因此我们将①×3减去②就可以将x、y、z的系数变为1,因此最后的结果为32×3-43×2=10元,选择C选项。

解法二:赋零法,首先我们分析x、y、z里系数最复杂的未知项,显然是x,令x=0,那么两个方程就变成了3x+z=32、4x+z=43,两式相减可以求得x=11,然后代入求得z=-1,所以x+y+z=11+0-1=10,选C选项。

分析两个方法后我们发现,明显赋零法解题更加方便简洁。凑系数法虽看似方便,但在实际解题过程中,在将系数凑为1时往往会遇到困难,并没有赋零法解题方便。那么小伙伴就会想,是不是所有的三元一次方程问题都可以这样求解呢?肯定不是的,接下来我们看两个反例。

例2.(2014 吉林)某学校组织一次教工接力比赛,共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工,为设计获得各级奖励的人数,制定两种方案:若一等奖每人发5件,二等奖每人发3件,三等奖每人发2件,刚好发完奖品;若一等奖每人发6件,二等奖每人发3件,三等奖每人发1件,也刚好发完奖品,则获得二等奖的教工有多少人?

A.6 B.5 C.4 D.3

解析:设一等奖、二等奖和三等奖的教工人数分别为x、y、z人,可得两个方程5x+3y+2z=25①、6x+3y+z=25②。我们发现此题需要求解的是y的值,那么明显将x或z赋予不同的值,求解出来的结果是不一样的,因此不能用赋值法。此题的正确解法应该是将不定方程组转化为不定方程来求解。②×2-①=7x+3y=25,通过代入排除可确定y=6,因此选择A选项。

此题不能用赋零法的原因在于求解的只是y的值,并不是x+y+z的整体。我们再来看一个例子。

例3. 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发6支,二等奖每人3支,三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,总共有多少人获奖?

A.5 B.6 C.7 D.8

解析:设一等奖、二等奖和三等奖的学生人数分别为x、y、z人,可得两个方程6x+3y+2z=22①、9x+4y+z=22②。通过观察后我们求的是整体,我们先用赋零法试一下。因为x的系数最复杂,因此令x=0,可得5y=22,y=4.4,代入解得z=4.4,此时x+y+z=8.8不是整数,但人数必须要是整数,很明显不符合实际,因此也不能使用。看到这各位小伙伴可能会想,这也不能用,那也不能用,那学了干啥咧!各位小伙伴别着急,我们先来看这道题的正确解法,将②×2- ①=12x+5y=22,赋值代入可得唯一解x=1、y=2,代入得z=5,所以总人数=x+y+z=8,因此选择D选项。

此题虽然求的是整体,但是由于要求x、y、z都必须是整数,所以也不能用赋零法。

给大家总结分析一下,在解决三元一次方程时,什么情况下能使用赋值法。首先要求求的必须是整体(x+y+z的总和),其次是要求求的量没有整数要求的限制,常见的比如金钱就不要求必须为整数,但具体人数就必须为整数。简单分析一下原理,题目要求我们求解的是x+y+z的总和或者x+y+z的整数倍,那么x+y+z的结果必然为定值,它在实数的范围内有无数组解,你可以尝试令x为任意值,在实数范围内总能找到一组y和z的值,满足x+y+z等于定值,但是如果限制整数那就不一定能找到满足条件的y和z的值。

接下来再把今天的知识点梳理为以下思维导图,方便大家理解。


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裁判123
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这个方程可以化为2x- 3 y=6
是一个二元一次方程,所以有无数组解。比如说x=3, y=0就是一组
x=0,y=- 2又是一组
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邢朝05A

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二元一次方程,有无数个解。
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普楣楣0eu
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  • x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立,方程 9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解,∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。二元一次方程整数

  • 已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x ...

    https://planabc.net/shuxue/1183845.html

    知名教师分析,《已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x-3y=-6的解相同,求a、b值.》这道题主要考你对 二元一次方程组的解法 等知识点的理解。关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

  • 下列各组数据中哪些是方程3x-2y=11的解?哪些是方程2x ...

    https://planabc.net/shuxue/1183548.html

    知名教师分析,《下列各组数据中哪些是方程3x-2y=11的解?哪些是方程2x+3y=16的解?哪些是方程组3x-2y=112x+3y=16的解?为什么?①x=1y=-4②x=5y=2③x=7y=32④x=15y=6.》这道题主要考你对 二元一次方程组的解法、二元一次方程的解法 等知识点的理解。 ...

  • 二元一次方程组练习题100道带答案 - 豆丁网 - Docin.com

    https://www.docin.com/p-1692651483.html

    的解是方程3x-2y=13的一个解 3x?2y?5? ?x?3y?5 ?7?3x?2y?12?23 2、方程组?,可以转化为? 5x?6y?272y?3x?4?2 的值为?、方程组??mx?my?m?3x 有唯一的解,那么m 4x?10y?8?22 6、方程组?3有无数多个解 ?、方程组??3x?y?1?3x?y?1 的解是方程 x+5y=3

  • 两个方程解三个未知数的例题

    https://duanku.pai-hang-bang.cn/kuzi_1701900195923302820.htm

    可能有解,也可能没。举个极端点的例子: x=3 y=2 x+y=5 这组有解 x+y=2 2x+2y=4 3x+3y=6 这组没解 这种方程的解一般说来有无穷多,其中有1个叫自由未知量,可以任意取值的 解得:x=(150-z)/17 y=(350-8z)/17 , z任意 这个方程有无数解 ...

  • 已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x ...

    https://m.tgjsw.com/k12/exam/detail/2546914.html

    3x+ay=13 2x-3y=-6 的解相同,求a、b 值. 2 答案 方程4x+ay=16和3x+ay=13相减,得x=3,把x=3代入方程2x-3y=-6,得y=4. 把x=3,y=4代入方程组 4x+ay=16 2x+y=4b+2,得 12+4a=16 6+4=4b+2 解这个方程组,得 ...

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