Question

空间向量的数量积 若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),求证a点乘b=x1x2+y1y2+z1z2.

Answer 1

这个证明和平面一样.首先有一个基本结论：空间向量数量积满足分配律a·(b+c)=a·b+a·c
设空间向量三个单位正交基为i、j、k向量（单位正交基的概念应该清楚吧,就是x、y、z轴正方向的三个单位向量）
a=(x1,y1,z1)实际上就是a=x1 i+y1 j+z1 k
b=(x2,y2,z2)实际上就是b=x2 i+y2 j+z2 k
a·b=(x1 i+y1 j+z1 k)·(x2 i+y2 j+z2 k)用上面讨论的分配律展开,注意三个单位正交基互相点乘是0（因为它们互相垂直）,自己和自己点乘是1（因为是单位向量）.
可得a·b=x1x2+y1y2+z1z2