Question

怎么证明limx→1/(2x-1)=2？

Answer 1

要证明极限lim(x1) (1/(2x-1)) = 2，可以使用ε-δ定义进行证明。根据定义，我们需要找到一个正数ε，使得对于任意满足0 < |x - 1| < δ的实数x，都有|1/(2x-1) - 2| < ε。
首先，我们注意到当x趋近于1时，2x-1也趋近于1。因此，我们可以选择一个足够小的δ，以确保2x-1不等于零，即避免除以零的情况。
现在，让我们设定一个正数ε，然后找到相应的δ。假设ε > 0，我们可以尝试选择δ = ε/5。然后，对于任意满足0 < |x - 1| < δ的实数x，我们来估计|1/(2x-1) - 2|。
首先，根据δ的选择，我们有 0 < |x - 1| < δ = ε/5。进一步，我们可以对2x-1进行估计：
|2x-1 - 1| = |2x - 2| = 2|x - 1| < 2(ε/5) = 2ε/5。
接下来，我们可以估计|1/(2x-1) - 2|：
|1/(2x-1) - 2| = |1/(2x-1) - (2(2x-1))/(2x-1)| = |1/(2x-1) - (4x-2)/(2x-1)|
= |(1 - (4x-2))/(2x-1)| = |(3 - 4x)/(2x-1)|.
注意到 0 < |x - 1| < δ，因此 0 < 2|x - 1| < 2(ε/5) = 2ε/5。由于3 - 4x是一个常数，我们可以将上述不等式进一步估计为：
|(3 - 4x)/(2x-1)| = |3 - 4x|/|2x-1| < (2ε/5)/(2|x - 1|) = ε/(5|x - 1|).
现在我们观察到 0 < |x - 1| < δ = ε/5，因此 0 < |x - 1| < ε/5。根据这个观察，我们可以进一步估计：
ε/(5|x - 1|) < ε/(5(ε/5)) = ε/ε = 1.
因此，对于任意满足0 < |x - 1| < δ的实数x，我们有|1/(2x-1) - 2| < 1。这就证明了极限lim(x1) (1/(2x-1)) = 2。
请注意，这只是一个证明的示例，具体的证明方法可能会因问题的不同而有所变化。

Answer 2

类似问题，参考一下吧　：

求证：lim(x->1) (x+1)/(2x-1)=2

证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |(x+1)/(2x-1)-2| < ε 成立，
令： |x-1|<1/3 ，则：2/3<x , 1/3 < 2x-1 ；
此时只要：|(-3x+3)/(2x-1)|= 3|(x-1)/(2x-1)|< 3|x-1|/(1/3)< 9|x-1|<ε，
即只要：|x-1| < min{ 1/3,ε/9 } 即可 ；

② 故存在 δ = min{ 1/3,ε/9 } > 0 ,

③ 当 |x-1|<δ 时，

④ 恒有： |(x+1)/(2x-1)-2| < ε 成立。

∴ lim(x->1) (x+1)/(2x-1) = 2

Answer 3

limx-＞1(2x-1)=2，
可以用极限的定义证明。

Answer 4

题目要求用ε-N定义证明，套用啊！