计算∫L(e^xsiny-3y)dx+(e^xcosy+x)dy，其中L是由点(0,0)到点(0,2)x^2+y^2=2y的右半圆周
【题目】
【求解答案】
【求解思路】该积分问题属于第二类曲线积分类型的题。
1、根据曲线路径曲线方程，转换成x(y)的函数
2、对x(y)的函数求一阶导数
3、将x、dx表达式代入被积函数中
4、最后用数值积分（如复合抛物线求积公式）的方法，求出其数值解
L路径曲线图
【求解过程】
【本题知识点】
1、数值积分。数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。
数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。
数值积分的基本思想：在区间[a, b]内，用充分多的点的函数值的加权平均值来代替f (∈)，从而可构造出一般的求积公式。
数值积分有等距结点求解积公式（如矩形公式，梯形公式，抛物线公式，复合抛物线公式，柯特斯公式，龙格公式等）和不等距结点求解积公式（如高斯公式，勒贝陶公式等）
本题采用数值积分是复合抛物线求积公式：
求解例子。
2、曲线积分。在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）
（2）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
曲线积分的性质
x^2+y^2=2y
相当于：x2+（y-1）^2=1, 极坐标方程：ρ=2sinθ 0<=θ<=π/2
参数方程：x=2sintcost=sin2t, y=2sin²t=1-cos2t
dx=2cos2t dy=2sin2t, 可以直接计算，但是比较麻烦，计算量很大。
最好使用格林公式较简。格林公式必须在封闭区域，再加一条从（0,2）到（0,0）的直线L1上的曲线积分。
∫L(e^xsiny-3y)dx+(e^xcosy+x)dy
=∫∫[(e^xcosy+1)-(e^xcosy-3)dxdy-∫L1(e^xsiny-3y)dx+(e^xcosy+x)dy
=4∫∫dxdy+∫[0,2][cosydy
=2π+siny|[0,2]
=2π+sin2
