Question

非齐次线性方程组的解

Answer 1

非齐次线性方程组的解AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank（A）=rank（A，b）（否则为无解）。

一、非齐次线性方程组有解

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank（A）=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank（A）<n。（rank（A）表示A的秩）

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。

二、齐次线性方程组求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r（A）=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

r（A）=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

三、非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R（A）<R（B），则方程组无解。

2、若R（A）=R（B），则进一步将B化为行最简形。

3、设R（A）=R（B）=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。