设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明|A*|=|A|n-1
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1.A不可逆
|A|=0
AA*=|A|E=O
假设|A*|≠0
则
A=O
显然A*=O,
与假设矛盾,所以
|A*|=0
即|A*|=|A|n-1=0
2.A可逆
|A|≠0
AA*=|A|E
A*也可逆
又
|AA*|=||A|E|=|A|^n
|A||A*|=|A|^n
所以
|A*|=|A|n-1
|A|=0
AA*=|A|E=O
假设|A*|≠0
则
A=O
显然A*=O,
与假设矛盾,所以
|A*|=0
即|A*|=|A|n-1=0
2.A可逆
|A|≠0
AA*=|A|E
A*也可逆
又
|AA*|=||A|E|=|A|^n
|A||A*|=|A|^n
所以
|A*|=|A|n-1
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