Question

间断点处极限求一下，详细过程？

写一下求极限的过程，这个分式求极限时能约分吗？

Answer 1

显然，x=1,0,-1,函数均无意义，均是间断点。

①lim[x-->1]f(x)=lim[x-->1](x-1)/(x^2-1)√（x^2+1）

   =lim[x-->1]1/(x+1)√（x^2+1）=√2/2

所以x=1是可去间断点，补充f(1)=√2/2,函数即在x=1处连续。

②lim[x-->0+]f(x)=lim[x-->0+](x-1)/(x^2-1)√（x^2+1）

   =lim[x-->0+]1/(x+1)√（x^2+1）=1

lim[x-->0-]f(x)=lim[x-->0-](x-1)/(x^2-1)√（x^2+1）

   =lim[x-->0-]-1/(x+1)√（x^2+1）=-1

所以x=0是第一类间断点中的跳跃间断点，跃度为2

③lim[x-->-1]f(x)=lim[x-->-1]-(x-1)/(x^2-1)√（x^2+1）

   =lim[x-->-1]-1/(x+1)√（x^2+1）=+∞

所以x=-1是第二类间断点中的无穷间断点。

Answer 2

可以约分，

x=1不是它的定义域，但是他左右导数存在，是可去间断点。

Answer 3

求极限的时候可以约分，这是个0乘无穷的形式，可以试试约分之后洛必达

Answer 4

f(x) = [(x^2-x)/(x^2-1)] .√(1+ 1/x^2)

间断点 x=-1,0, 1

lim(x->1) [(x^2-x)/(x^2-1)] .√(1+ 1/x^2)

=lim(x->1) { x(x-1)/[(x-1)(x+1)] }.√(1+ 1/x^2)

=lim(x->1) [ x/(x+1)] .√(1+ 1/x^2)

=[1/(1+1)].√(1+1)

=√2/2

x=1, 可去间断点

lim(x->0+) [(x^2-x)/(x^2-1)] .√(1+ 1/x^2) 

=lim(x->0+) [x(x-1)/(x^2-1)] .√(x^2+1)/x

=lim(x->0+) [(x-1)/(x^2-1)] .√(x^2+1)

=[(0-1)/(0-1)](1)

=1

lim(x->0-) [(x^2-x)/(x^2-1)] .√(1+ 1/x^2) 

=lim(x->0+) [x(x-1)/(x^2-1)] .√(x^2+1)/(-x)

=lim(x->0+) -[(x-1)/(x^2-1)] .√(x^2+1)

=-1

x=0, 跳跃间断点

lim(x->-1-) [(x^2-x)/(x^2-1)] .√(1+ 1/x^2) ->-∞

x=-1, 无穷间断点