线面垂直的判定定理证明
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线面垂直的判定定理证明
判定定理：
如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。需要相交的原因见下文。
反证法：
设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S
假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。
当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l
∴m⊥AB
又∵l⊥CD
∴m⊥CD
∴AB∥CD，与已知条件矛盾。
当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。
∵l⊥AB
∴AB∥n
∵l⊥CD
∴CD∥n
∴AB∥CD，与已知条件矛盾。
综上，l⊥S
代数法：
如图，l与α内两条相交直线a，b都垂直，求证：l⊥α
证明：与a或b平行的直线必垂直l，因此接下来的讨论围绕与a，b不平行的直线进行。
先将a，b，l平移至相交于O点，过O作任意一条直线g，在g上取异于O的点G，过G作GB∥a交b于B，过G作GA∥b交a于A。连接AB，设AB与OG交点为C
∵OA∥GB,OB∥GA
∴四边形OAGB是平行四边形
∴C是AB中点
由中线定理，
在l上取异于O的点D，连接DA,DB，由中线定理
两式相减可得
又注意到OD⊥OA,OD⊥OB
∴得
即
∴OD⊥OC
由g的`任意性可知，l与α内任意直线都垂直
∴l⊥α
向量法：
设直线l是与α内相交直线a，b都垂直的直线，求证：l⊥α
证明：设a，b，l的方向向量为a，b，l
∵a与b相交，即a，b不共线
∴由平面向量基本定理可知，α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式
∵l⊥a，l⊥b
∴l·a=0，l·b=0
l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0
∴l⊥c
设c是α内任一直线c的方向向量，则有l⊥c
根据c的任意性，l与α内任一直线都垂直
∴l⊥α
线面垂直的性质定理
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）
