Question

如何通过椭圆标准方程推导出椭圆的方程式？

Answer 1

椭圆方程椭圆的两个焦点在y轴上时，怎么推导方程式
解：设椭圆上焦点F₁(0，c)，下焦点F₂(0，-c)；c为半焦距，c>0.
椭圆上的动点M(x，y)；依椭圆定义有等式：
∣MF₁∣+∣MF₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a，a为长半轴之长，a>0.
√[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²]
两边平方得：x²+(y-c)²=4a²-4a√[x²+(y+c)²]+x²+(y+c)²
化简、移项，得：4a√[x²+(y+c)²]=4a²+4cy
化小系数得：a√[x²+(y+c)²]=a²+cy
再平方得：a²[x²+(y+c)²]=a^4+2a²cy+c²y²
a²(x²+y²+2cy+c²)=a^4+2a²cy+c²y²
a²x²+(a²-c²)y²=a^4-a²c²
令a²-c²=b²，得a²x²+b²y²=a²b²
再用a²b²除两边，即得焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：
y²/a²+x²/b²=1，其中a²-b²=c²；a>b.
其中a为长半轴之长，b为短半轴之长，c为半焦距。