Question

设m是可逆矩阵A的一个特征值,证明:det(A)/m是A的伴随矩阵A*的一个特征值

Answer 1

设 x 是 A 的属于特征值m的特征向量
则 Ax = mx.
两边左乘A*得 A*Ax = mA*x.
由 A*A = |A|E 得 |A|x = mA*x.
再由 A 可逆,A的特征值都不等于0,所以有
(|A|/m)x = A*x
即 |A|/m 是 A* 的特征值,x 仍是 A* 的属于特征值 |A|/m 的特征向量.