Question

已知向量a=（cosα,sinα）,向量b=（cosβ,sinβ）,其中0＜α＜β＜π

Answer 1

(1)
求证：向量a+向量b与向量a-向量b互相垂直(a+b).(a-b)
=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)
=(cosα)^2- (cosβ)^2+(sinα)^2-(sinβ)^2
=0
=>a+b与a-b互相垂直
(2)
|ka+b|^2
=k^2|a|^2+|b|^2+2ka.b (1)
|a-kb|^2
=|a|^2+k^2|b|^2-2ka.b (2)
若ka+b与a-kb的长度相等,求β-α的值
(1)=(2)
(k^2-1)|a|^2+(1-k^2)|b|^2 + 4ka.b=0
(k^2-1)+(1-k^2)+4k(cosαcosβ +sinαsinβ)=0
4kcos(β-α) =0
β-α = π/2
详细见下
∵向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ)
∴|向量a|=√[(cosα)^2+(sinα)^2]=1
|向量b|=√[(cosβ)^2+(sinβ)^2]=1
向量a*向量b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos(β-α)
∴|k向量a+向量b|
=√[|k向量a+向量b|^2
=√(|k向量a|^2+2k向量a*向量b+|向量b|^2)
=√(k^2*|向量a|^2+2k向量a*向量b+|向量b|^2)
=√[k^2+1+2kcos(β-α)]
|向量a-k向量b|
=√[|向量a-k向量b|^2
=√(|向量a|^2-2k向量a*向量b+|k向量b|^2)
=√(|向量a|^2-2k向量a*向量b+k^2*|向量b|^2)
=√[1+k^2-2kcos(β-α)]
∵k向量a+向量b与向量a-k向量b的长度相等
∴|k向量a+向量b|=|向量a-k向量b|
∴√[k^2+1+2kcos(β-α)]=√[1+k^2-2kcos(β-α)]
∴k^2+1+2kcos(β-α)=1+k^2-2kcos(β-α)
∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
∴4kcos(β-α)=0
∵k≠0
∴cos(β-α)=0
∵0