Question

已知a>0,求证loga（a—1）.loga（a+1）

Answer 1

显然有a-1>0,a>1
a>1,对数函数是增函数
若1<a<=2
则0<a-1 1
所以loga(a-1)0
则loga(a-1)*oga(a+1)<=0
不等式成立
若a>2
则a-1>0,所以
loga(a-1)>,loga(a+1)>0
则由均值不等式
√[oga(a-1)*lga(a+1)]<=[loga(a-1)+loga(a+1)]/2=loga(a^2-1)/2
因为a^2-1<a^2
所以loga(a^2-1)<loga(a^2)=2
所以loga(a^2-1)/2<1
所以√[oga(a-1)*lga(a+1)]<1
所以[loga(a-1)*lga(a+1)]<1
综上
loga(a-1)*lga(a+1)<1</loga(a^2)=2
</a^2
</a-1 </a<=2