Question

已知f(x)是偶函数，求证f(x)是奇函数。

Answer 1

这是奇函数。

分析：要判断是否是奇函数，需要考虑两个条件：定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)。

1+x²>x²，√(1+x²)+x恒大于0，函数定义域为R，关于原点对称。

F(-x)=ln[-x+√(1+x²)]=ln[-x+√(1+x²)][x+√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]=ln[1/[x+√(1+x²)]]=-ln[x+√(1+x²)]=-F(x)，函数是奇函数。

性质：

1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5. 当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。