AB-BA=A则A不可逆求证明
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由B只有有限个特征值,存在B的特征值λ,使得λ-1不是B的特征值.
设X是B的属于特征值λ的特征向量,即有X ≠ 0并满足BX = λX.
由AB-BA = A,有BA = AB-A.
于是BAX = ABX-AX = A(λX)-AX = λAX-AX = (λ-1)AX.
若AX ≠ 0,则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量,与λ-1不是B的特征值矛盾.
因此AX = 0,以A为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解,故A不可逆.
设X是B的属于特征值λ的特征向量,即有X ≠ 0并满足BX = λX.
由AB-BA = A,有BA = AB-A.
于是BAX = ABX-AX = A(λX)-AX = λAX-AX = (λ-1)AX.
若AX ≠ 0,则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量,与λ-1不是B的特征值矛盾.
因此AX = 0,以A为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解,故A不可逆.
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GamryRaman
2023-06-12 广告
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本回答由GamryRaman提供
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