a,b,c∈R+,求证c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2
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左边=c/(a+b)+1+a/(b+c)+1+b/(c+a)+1-3
=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3
=(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
=1/2*[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
由柯西不等式
≥1/2*[(a+b)*1/(a+b)+(b+c)*1/(b+c)+(c+a)*1/(c+a)]^2-3
=3/2
=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3
=(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
=1/2*[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
由柯西不等式
≥1/2*[(a+b)*1/(a+b)+(b+c)*1/(b+c)+(c+a)*1/(c+a)]^2-3
=3/2
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