Question

正交变换法化二次型为标准型技巧

Answer 1

正交变换法化二次型为标准型技巧如下：

1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。

2、求出A的所有特征值λ₁，λ₂，...，λn。

3、求出对应于特橡链征值的特征向量a₁，a₂，...，an。

4、将手散特征向量正交化、单位化，得b₁，b₂，...，bn，记C=(b₁，b₂，...，bn)。

5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k₁y₁+k₂y₂+...+knyn。

二次型标准化的本质和意义：

1.本质：

二次型标准化的本质是合同对角化，并非相似对角化。

之所以可用正交矩阵相似对角化：一是因为正交矩阵的转置与逆相等，相似与合同是一回事。二是因为对称矩阵的特征向量在标准正交基矢下正交，并且没有亏损现象。注意这里说的正交是在标准正交基即正交梁薯孙归一坐标系里下正交，并非在上述二次型所对应的几何空间正交。

一定要清清楚楚、明明白白，不可混淆。

2.意义：

标准化可以明显地看出二次函数的对称轴，以及是否与x轴有交点，同时知道x求y也比较好算。