Question

双曲线焦半径公式如何推导的？

Answer 1

如下：

焦半径公式的推导： 利用双曲线的第二定义：设双曲线 ， 是其左右焦点。 则由第二定义： ， 同理： 即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式： 同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中 分别是双曲线的下上焦点）。

 注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。 

两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号） 椭圆上一点P(x0，y0)与焦点F连结的线段PF叫做椭圆的焦半径，与左焦点F1对应的焦半径叫做左焦半径，与右焦点F2对应的焦半径叫右焦半径。

一般用椭圆的第二定义来推导焦半径长的公式。|PF1| =a+ex0 又|PF2|+|PF1|=2a， ∴|PF2|＝2a-|PF1|=a-ex0。

即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是 |PF1|=a+ey0，|PF2|=a－ey0 的下、上焦半径分别是 |PF1|=a+ey0，|PF2|＝a－ey0 在求焦点弦长时，注意焦半径公式的使用

当抛物线方程为 y^2=2px(p>0) (开口向右) 时,焦半径r=x+p/2 (其中x为在抛物线上的横坐标,p为焦准距) (利用抛物线第二定义求)。分割线后是大招。以下比较狠的二级结论，助你提高！r：圆的半径；d：弦心距，即弦长与圆心的距离。二次项系数：直线曲线联立后的二次项系数。