Question

在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是三角形内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数

在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC =BC，P是三角形内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数

Answer 1

三角形ABC中,角ACB=90,AC=BC,P是三角形ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求角BPC的度数 5分 ，不是AC=AB是AC=BC
三角形ABC中,角ACB=90,AC=BC,P是三角形ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求角BPC的度数

简解 以C为旋转中心,将△CAP旋转90°,
使A点和B点重合,P→Q.则
CQ=CP,BQ=AP,∠PCQ=90°.
∴△PCQ为等腰直角三角形,
PQ^2=4+4=8,
又∵PQ^2+PB^2=8+1=9=BQ^2
∴∠BPQ=90°,
故∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°+45°=135°.

Answer 2

解法1:如左图,把⊿BCP绕点C逆时针旋转90度至⊿ACE的位置,连接PE.

则CE=CP=2,AE=BP=1,∠BPC=∠AEC,∠ACE=∠BCP.

∴∠ECP=∠ACB=90º,得∠CEP=45º;PE²=PC²+CE²=8.

∵PE²+AE²=8+1=9=PA².

∴∠PEA=90º,故∠BPC=∠AEC=∠PEA+∠CEP=135º.

 

解法2:如右图,把⊿ACP绕点C顺时针旋转90度至⊿BCE的位置,连接PE.

则CE=CP=2,BE=AP=3,∠BCE=∠ACP.

∴∠PCE=∠ACB=90º,则∠CPE=45º;PE²=PC²+CE²=8.

∵PE²+PB²=8+1=9=BE².

∴∠BPE=90º,∠BPC=∠BPE+∠CPE=135º.

Answer 3

以C为旋转中心,将△CAP旋转90°,
使A点和B点重合,P→Q.则
CQ=CP,BQ=AP,∠PCQ=90°.
∴△PCQ为等腰直角三角形,
PQ^2=4+4=8,
又∵PQ^2+PB^2=8+1=9=BQ^2
∴∠BPQ=90°,
故∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°+45°=135°.