不定积分的计算方法是什么?

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例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

  • 主要内容:

  • 通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识,介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。

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  • 根式换元法:

  • 设√(x+2)=t,则x=(t^2-2),代入得:

    ∫x√(x+2)dx

    =∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

    =2∫t^2*(t^2-2)dt,

    =2∫(t^4-2t^2)dt,

    =2/5*t^5-4/3*t^3+C,

    =2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,

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  • 根式部分凑分法

  • ∫x√(x+2)dx

    =∫x√(x+2)d(x+2),

    =2/3∫xd(x+2)^(3/2),

    =2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

    =2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

    =2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,

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  • 整式部分凑分法

  • A=∫x√(x+2)dx,

    =(1/2)∫√(x+2)dx^2,

    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,

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    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

    即:(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

    A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

    A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。

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  • 不定积分概念

  • 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

    其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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    不定积分的计算

    求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

    不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。

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生活小达人164I
高能答主

2022-09-07 · 世界很大,慢慢探索
知道小有建树答主
回答量:1438
采纳率:97%
帮助的人:34.4万
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答案:

1/(x^2-1)=1/(x+1)(x-1)。

=a/(x+1)+b/(x-1)。

=[(a+b)x+(b-a)]/(x+1)(x-1)。

所以a+b=0,b-a=1。

a=-1/2,b=1/2。

所以原式=-1/2∫1/(x+1)dx+1/2∫1/(x-1)dx。

=-1/2*ln|x+1|+1/2*ln|x-1|+C。

=1/2*ln|(x-1)/(x+1)|+C。

把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

由定义可知:

求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

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