Question

变下限积分求导,如果上限是正无穷的时候怎么求？是把正无穷看成常数吗？还是在加一个反常积分？

Answer 1

原积分=∫〔原下限到a〕?+∫〔a到+∞〕?求导时，第一项按照变下限积分求导，

第二项积分如果收敛则是常数，求导为0。

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中。

事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。

扩展资料：

连续性

【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

导数定理

【定理二】如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

导数推广

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

导数推广

注：（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

原函数存在定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。