Question

高中数学：导数题。

第二题。

Answer 1

讨论x的取值范围

①当x=0时，不等式2f(x)+xf'(x)>x^2为2f(0)>0，即f(0)>0；

②当x>0时，不等式2f(x)+xf'(x)>x^2两边同时乘以x为2xf(x)+x^2f'(x)>x^3>0，

即[x^2f(x)]′>x^3>0，可得x^2f(x)在区间（0,+∞）上单调递增，

根据单调性定义，有x^2f(x)>0，又x^2>0，故当x>0时，f(x)>0；

③当x<0时，不等式2f(x)+xf'(x)>x^2两边同时乘以x为2xf(x)+x^2f'(x)<x^3<0，

即[x^2f(x)]′<x^3<0，可得x^2f(x)在区间（-∞,0）上单调递减，

根据单调性定义，有x^2f(x)>0，又x^2>0，故当x<0时，f(x)>0.

综合①②③可知，在R上f(x)>0恒成立，故选A

Answer 2

本题选A。
令x=0,容易得到f(0)>0
对2f(x)+xf'(x)>x^2
当x>0 时，两边同乘以x 移项得到
2xf(x)+x^2f'(x)-x^3>0
即[x^2f(x)]'-(x^4/4)'=[x^2f(x)-x^4/4]'>0
设F（x)=x^2f(x)-x^4/4
则有F（0）=0，当x>0时 F(x)'>0
同理有 当x<0时 F(x)'<0
即 当x>0时 F(x)=x^2f(x)-x^4/4>0推出 f(x)>x^2/4>0
当x<0时 F(x)=x^2f(x)-x^4/4>0推出 f(x)>x^2/4>0
所以对所以x有f(x)>0,即选A