Question

下列反常积分收敛的是

Answer 1

问题一：用定义判断下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算其值

问题二：下列反常积分中收敛的是（　　）1.∫+∞01x2+4x+3dx2.∫+∞?∞x1+x2dx 1.∫+∞01x2+4x+3dx=12∫+∞0(1x+1?1x+3)dx＝12[lnx+1x+3]+∞0=12ln3，因而1收敛．2.∫+∞?∞x1+x2dx=12ln(1+x2)|+∞?∞发散．3.∫+∞0x3e?x2dx=12∫+∞0x2e?x2dx2＝?12(1+x2)e?x2|+∞0=?12limx→+∞1+x2ex2+12＝12，因而3收敛．4.∫10lnxxdx=?12limx→0+ln2x不存在，因而4发散．故只有1，3收敛故选：B．

问题三：下列反常积分收敛的是？ 这道题选择C
解：A.原式（下面写的∫的上下限都是从2到正无穷）=∫ lnx (dlnx)=(lnx)2/2【2到+∞】=+∞
B.原式=∫ 1/lnx (dlnx)=ln(lnx)【2到+∞】=+∞
C.原式=∫ 1/x(lnx)2 dx=-1/lnx【2到+∞】=1/ln2
D.原式=∫ 1/(x√(lnx)) dx=2√(lnx)【2到+∞】=+∞

问题四：下列反常函数是否收敛？如果收敛，计算反常积分的值 解：p>0时，是收敛的。分享一种解法，利用欧拉公式“快捷”求解。
设I1=∫(0,∞)e^(-pt)sin(ωt)dt，I2=∫(0,∞)e^(-pt)cos(ωt)dt，
∴I2+iI1=∫(0,∞)e^[-(p-ωi)t]dt=1/(p-ωi)=(p+ωi)/(p^2+ω^2)，∴原式=I1=ω/(p^2+ω^2)。
供参考。

问题五：判断下列反常积分的敛散性，如果收敛，计算反常积分的值 40分