判断级数敛散性1-1/2!+1/3-1/4!+1/5-···
判断级数敛散性1-1/2!+1/3-1/4!+1/5-···
奇数项1,1/3,1/5,……>1/2+1/4+1/6+……=1/2(1+1/2+1/3+……)发散
偶数项1/2!+1/4!+1/6!……<1/1^2+1/2^2+1/3^2+……，后者收敛，所以偶数项收敛
因此级数收敛
判断级数∑1/[(n+1)^1/2+n^1/2]敛散性
解：分母有理化得前n项和为：(n+1)^1/2，故发散。
1-1/2^2+1/3^3-1/4^2+1/5^3+...判断敛散性
正负可以拆成两个P级数，都收敛，所以整体收敛，就是a(2n-1)和a(2n)两个级数
研究级数1-1/（2^a）+1/3-1/（4^a）+···（a不等于0）的敛散性
a＞1偶数项构成收敛级数，奇数项构成发散级数，所以发散；a=1,收敛；a＜1,每两项合并，当n足够大时，合并项小于0，而且绝对值大于1/n,所以发散
1-1/2!+1/3!-1/4!+...的敛散性
这个级数绝对收敛。
|Un|=1/n! ≤1/(n-1)^2，（n>2）
因为右侧的级数∑ 1/(n-1)^2 收敛，所以原级数绝对收敛，当然也收敛。
PS：也可以用莱布尼茨审敛法直接判断其收敛，但那样无法得到绝对收敛的结论。
判断级数∑1/[(n+1)(2n+3)]的敛散性
1/((n+1)(2n+3))<1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)
∑1/((n+1)(2n+3))<∑[1/n-1/(n+1)]<=1
级数收敛
判断下列级数的敛散性1/(√2-1)-1/(√2+1)+.......
两项两项的合并，
得 2(1+1/2+1/3+........)，
明显发散。
级数1/(1*5)+1/(5*9)+1/(9*13)+……敛散性
级数
1/(1*5)+1/(5*9)+1/(9*13)+…
的部分和数列
S(n) = ∑(1≤k≤n)[1/(4k-3)(4k+1)]
= (1/4)∑(1≤k≤n)[1/(4k-3)-1/(4k+1)]
= (1/4)[1-1/(4n+1)]
→1/4 (n→∞)，
……
判断下列级数的敛散性 1/(3n-2)+1/(3n-1)-1/3n
我认为是发散的。
我这样想的，不知道对不对：
S(n)=∑1/(3n-2)+1/(3n-1)-1/3n , n=1,2,3,...∞
=1+1/2-1/3 +1/4+1/5-1/6 +1/7+1/8-1/9.........
={1+1/2+1/3 +1/4+1/5+1/6 +1/7+1/8+1/9......} - 2*{1/3+1/6+1/9+......}
=∑1/n -2*∑1/3n 此处n从1到3n,n到∞，故也是n=1,2,3.....∞
前面∑1/n是调和级数，已知是发散的。后面是2*∑1/3n，是收敛的。
故1/(3n-2)+1/(3n-1)-1/3n还是发散的。
也不知道对不对，请各位不吝赐教。谢谢
级数从1到∞ Σ[1/ln(n+2)]*sin(1/n) 判断该级数的敛散性
sin(1/n)~1/n
原级数化为1/nln(n+2) 这是一个重要的级数 有级数从2到∞ Σ1/n^p(lnn)^q 有p>1 或p=1且q>1是收敛 p<1或p=1且q<=1时发散的规律
所以该级数发散
