Question

合同矩阵不一定相似．相似矩阵一定合同？

A.

Answer 1

【答案】：【解】
命题一：
实对称矩阵A相似于实对角阵B；那么A合同于B.
简言之：两实对称矩阵相似,一定合同.
注：实对称矩阵,即满足A'=A的矩阵A.
实对称矩阵之间的相似,称为正交相似,相应的变换矩阵为正交矩阵.
正交相似变换矩阵P,P^(-1)=P',P既是相似变换也是合同变换.这里P'表P的转置.
证：
T'AT=diag{x1,x2,...,xn}（x1,...,xn为A的特征值）
Q'BQ=diag{y1,y2,...,yn}（y1,...,yn为B的特征值）
注：以上是说,实对称矩阵必定合同于对角阵.
由于A和B相似,故可令xi=yi
=>T'AT=Q'BQ（T和Q均为正交阵）
=>(Q')^(-1)*左侧*Q^(-1)=[TQ^(-1)]'ATQ^(-1)=(Q')^(-1)*右侧*Q^(-1)=B
令C=TQ^(-1),上式即C'AC=B,且C可逆,故A合同于B.
更强的命题——谱分解定理：实对称矩阵正交相似于对角阵.
注：也就是说如果A是实对称矩阵,不仅存在可逆阵P使得D=P^{-1}AP是对角阵,而且还可以要求P是正交阵
注：上面讲了,对于实对称矩阵,相似一定合同.此时,可 用正负惯性指数（此时分别等于正负特征 值重数之和）衡量合同性.而在非对称矩 阵情形下,不能用正负惯性指数判别合同 性,且相似合同无直接联系.
命题二：
实对称矩阵A和B合同,不能推出A,B相似,即合同不一定相似.
例如：对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵,而单位矩阵只能和单位矩阵相似.
综述：
相似不一定合同,合同不一定相似；
实对称矩阵相似一定合同,合同不一定相似.