Question

高一数学，二次函数，取值

若-1≤X＜1，且二次函数Y=x²-2（a-1)+2（a-1)的函数值恒大于O，求实数a的取值范围。 跪求啊 说明白点 大大的感谢

Answer 1

配方
y=[x-(a-1)]²-(a-1)²+2(a-1)
=[x-(a-1)]²-a²+4a-3
对称轴x=a-1,开口向上

-1≤x<1

若a-1<-1
a<0
定义域在对称轴右边，是增函数
则x=-1时最小
恒大于0则最小值大于0
x=-1，y=1+2a-2+2a-2>0
a>3/4，不符合a<0

若-1≤a-1<1
0≤a<2
此时对称轴在定义域内
所以x=a-1
y最小=-a²+4a-3>0
a²-4a+3<0
(a-1)(a-3)<0
1<a<3,且0≤a<2
所以1<a<2

若a-1≥1
a≥2
定义域在对称轴左边，是减函数
则x=1时最小
恒大于0则最小值大于0
但是x=1取不到
所以只要最小值大于等于0
x=1，y=1-2a+2+2a-2≥0
成立

所以a>1

Answer 2

赞同 qepwq0404的解法，但可以更简单；解法如下：
因为-1≤x＜1，所以有-2≤x-1＜0
因为Y=x²-2（a-1)x+2（a-1)>0，所以：2（a-1)>x^2/(x-1)
即有2（a-1)>（x^2/(x-1)）max
又x^2/(x-1)=（x-1)+1/(x-1)+2≤-2√（（x-1)+1/(x-1））+2=0
注意x-1<0
所以2（a-1)>0，即a>1

Answer 3

画出可能的图像，列出关于 对称轴，-1、1处函数值，判别式的关系式，解

Answer 4

（反解法）解：y=x²-2(a-1)x+2(a-1)=(x-1)²+2(x-1)+1-2(a-1)(x-1)=(x-1)²+(4-2a)(x-1)+1＞0.因-1≤x＜1,故-2≤x-1＜0.故由题设，恒有(x-1)+[1/(x-1)]＜2a-4.===>(1-x)+[1/(1-x)]＞4-2a.又0＜1-x≤2.易知，（1-x)+[1/(1-x)]≥2.等号仅当x=0时取得，故由题设4-2a＜2.===>a＞1.

Answer 5

若：（a-1)^2-4(a-1)<0恒成立
则a^2-2a+1-4a+4<0
a^2-6a+5<0
(a-1)(a-5)<0
结果就是1<a<5

Answer 6

已知定义域（-1≤X＜1），而且已知Y恒大于0，则x²-2（a-1)+2（a-1)恒大于0，所以要使二次函数的最小值也要大于0，所以当X=-1时，Y取得最小值，将X=-1带入不等式x²-2（a-1)+2（a-1)>0中，得。。。。后面应该明白了吧~~