Question

已知关于x的二次函数y=-x²+(2m+3)x+4-m²的图象与x轴交于A B两点

（1） 若AB=7，求这个二次函数的解析式
（2） 若点A在原点O的左边，点B在原点O的右边，且4（OB-AO）=3AO·OB，求这个二次函数的解析式

Answer 1

1.
设两根为x1、x2，AB=(x1-x2)=7，（x1-x2）^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2m+3)^2-4(m^2-4)=12m+25=49，m=2，所以y=-x^2+7x。

2.
设a,b为y=0的两个根，根据伟达定理则有a+b=2m+3, ab=m²-4
由于点A在原点O的左边，点B在原点O的右边，所以 OA=-a,OB=b
而4（OB-AO)=3AO*OB
所以 4（b+a）=-3ab 即 4（2m+3）=-3（m²-4）
解得 m=0 或m=-8/3
又△=(2m+3)²-4*(-1)*(4-m²)=12m+25>0
即m>-25/12
所以m=0
所以y=-x²+3x+4

Answer 2

解：设二次函数y=-x²+(2m+3)x+4-m²的图象与x轴交于A（X1,0）B(X2,0)
则有:X1+X2=2m+3。
X1*X2=m²-4
(1).∵AB=7。
则|X2-X1|=7。
即：X2²-2X1X2+X1²=49.
（X1+X2）²-4X1X2=49。
(2m+3)²-4(m²-4)=49.
整理得：m=2。
∴解析式y=-x²+7x.

(2).如同第一问，从根与系数的关系入手来解。

Answer 3

依题意得,设-x²+(2m+3)x+4-m²=0的两个解为M与N,
因为二次函数y=-x²+(2m+3)x+4-m²与x轴交于A B两点,AB=7得
/M-N/=7,依据平方公式得(M-N)²=(M+N)²-4MN
根据根与系数的关系得m=2。
∴解析式y=-x²+7x.

Answer 4

本题主要考察根与系数的关系

解答如下