Question

10.描绘函数 y=1+16x/((x+2)^2 的图形？

Answer 1

描绘函数 y=1+16x/(x+2)² 的图形，可以从下述方面来叙述：

1、该函数的一阶导数，即有

y'=(1+16x/(x+2)²)'=16/(x + 2)² - 32x/(x + 2)³

2、令y'=0，求函数的极值点，即

16/(x + 2)² - 32x/(x + 2)³=0

(16-32x/(x + 2))/(x + 2)²=0

由于(x + 2)²≠0，所以

16-32x/(x + 2)=0

x + 2=2x

x=2

计算对应x的y值

y=1+16×2/(2+2)²=3

3、该函数的二阶导数，即有

y"=(16/(x + 2)² - 32x/(x + 2)³)'=96x/(x + 2)⁴ - 64/(x + 2)³

4、判断x=2处的y值是最大值还是最小值

当x=2时，y"(x=2)=96×2/(2 + 2)⁴ - 64/(2 + 2)³=-1/4<0

由于y"(x=2)<0，所以x=2处的y值是最大值

5、令y"=0，求函数的拐点，并判断在拐点附近函数的单调性，即

96x/(x + 2)⁴ - 64/(x + 2)³=0

3x/(x + 2) = 2

3x=2(x + 2) 

x=4

计算对应x的y值

y=1+16×4/(4+2)²=25/9=2.778

当x=4时，y"(x=4)=96×4/(4 + 2)⁴ - 64/(4 + 2)³=1/46656>0

由于y"(x=4)>0，所以x=4处的曲线开始呈下凹趋势

6、函数的定义域。当x+2=0时，则 x=-2处有间断点。综合上述所述，该函数在区间（-∞，-2）为单调减区间，区间（-2，2）为单调增区间，，区间（2，+∞）为单调减区间

7、函数的渐近线

所以，该函数有一条y=1的水平渐近线

8、函数 y=1+16x/(x+2)² 的图形