Question

设f(x)=(ax+b)/x*2+2的值域为 -1,4, 求a,b

那个题目是 f（x）=（ax+b）/（x*2+2）+2 x*2 是x的平方

Answer 1

已知函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)的值域是[-1,4],则a,b的值是多少?

解法一 因为y=(ax+b)/(x^2+1),
所以 yx^2-ax+y-b=0, (1)
当y不等于0时,因关于x的一元二次方程(1)有解,所以
△=a^2-4y(y-b)>=0,即4y^2-4by-a^2<=0,
不等式的解集(即函数的值域)为:
[(b-(b^2+a^2)^(1/2))/2,(b+(b^2+a^2)^(1/2))/2],
所以,b-(b^2+a^2)^(1/2))/2=-1, (2)
b+(b^2+a^2)^(1/2))/2=4, (3)
由(2),(3)解得 a^2=16,b=3,
因此,a=(+/-)4.b=3

解法二 因为y=(ax+b)/(x^2+1),
所以 yx^2-ax+y-b=0, (1)
当y不等于0时,因关于x的一元二次方程(1)有解,所以
△=a^2-4y(y-b)>=0,即4y^2-4by-a^2<=0,
由题意知,x1=-1,x2=4是一元二次方程4y^2-4by-a^2=0的两个解,
所以,4+4b-a^2=0,, (2)
64-16b-a^2<=0, (3)
由(2),(3)解得 a^2=16,b=3,
因此,a=(+/-)4.b=3