Question

求方程dy/dx=(2xy-y²)/x²的通解

Answer 1

为了求解给定的一阶微分方程：
dy/dx = (2xy - y²) / x²
我们可以观察到它是一个伯努利方程，其形式为：
dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n
其中P(x)和Q(x)是关于x的函数，n是常数。在给定的方程中，我们可以看到：
P(x) = -2/x
Q(x) = 1/x²
n = 2
为了解决这个伯努利方程，我们可以做一个变量替换：
v(x) = y^(1-n)
这里n=2，所以我们得到：
v(x) = y^(-1)
对v(x)求导：
dv/dx = -y^(-2) * dy/dx
现在，我们可以用v(x)和dv/dx替换原方程中的y和dy/dx：
-y^(-2) * dy/dx - 2/x * y = 1/x²
将方程两边乘以-y²，我们得到：
dv/dx = (2/x) * (1/v) - 1/x²
这是一个线性一阶微分方程，我们可以找到积分因子（integrating factor）：
IF(x) = e^(∫(2/x)dx) = e^(2ln|x|) = |x|^2
乘以积分因子，我们得到：
x² * dv/dx + 2x * v = 1
这个方程现在是已知的线性形式，可以直接积分：
∫(x² * dv/dx)dx + ∫(2x * v)dx = ∫1 dx
这里，第一个积分是对v的导数进行积分，因此我们可以直接得到：
x² * v(x) + x * v(x) = ∫1 dx
x² * v(x) = ∫1 dx - x * v(x)
x² * v(x) = x + C
由于v(x) = y^(-1)，我们可以通过代换求解y：
y^(-1) = x^(-2) * (x + C)
取倒数：
y = 1 / (x + C/x²)
这就是给定微分方程的通解。其中C是待定常数。