Question

关于这道阴影部分与空白面积的面积比，求解，小升初题？

平行四边形ABCD,已知F是AD的中点，DE=3EC,阴影面积与空白面积的面积比是___。（百度搜题有答案，但他是用底乘边长求出的。）

Answer 1

• 首先，连接BE可以将平行四边形分成两个三角形，两个梯形。因为F是AD的中点，所以AF=FD，同时，由于平行四边形的特性，因此AB=CD、AD=BC。设BE=x，EC=b，则DE=3b。
  由于三角形BEC与三角形DEF有一个角相等，且它们的底边长度成比例，因此这两个三角形相似。则BE/DE=EC/EF，即x/3b=b/(AF-b)，解得：
  $$\frac{x}{3b}=\frac{b}{AF-b},\quad AF=\frac{4}{3}b$$
  所以四边形AFED的面积为：
  $$S_{AFED}=\frac 12\times\frac{4}{3}b\times3b=2b^2$$
  平行四边形ABCD的面积为2S，其中S为三角形AED的面积，可以由底和高求得。观察图形可以发现，AE=AF+FE=b+(2/3)b=5/3b，因此：
  $$S=\frac{1}{2}\times5/3b\times 3b=\frac{5}{2}b^2$$
  故平行四边形ABCD的阴影面积为S-2S/3=(S/3)=(5/6)b^2，空白面积为S-5/6b^2=1/6b^2。因此阴影面积与空白面积的面积比为：
  $$(5/6)b^2/(1/6)b^2=\boxed{5:1}$$