Question

线性相关的向量组一定线性无关么？

Answer 1

是的，向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关。

因为以a,b,c,d列向量组成的矩阵是3行4列的，秩至多是3＜4＝向量个数，所以向量组线性相关。判除了用定义之外，用秩判断线性相关时，就是看秩是不是小于向量个数，小于就线性相关，等于就线性无关。

理由如下：

因为用定义判断的话，就是看齐次线性方程组(a1,a2,...,an)x=0是不是有非零解，这就归结于系数矩阵(a1,a2,...,an)的秩与n的关系，n就是向量个数。

扩展资料：

线性相关注意点:

对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。

含有相同向量的向量组必线性相关。

增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

【局部相关，整体相关】

减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）

【整体无关，局部无关】

一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

【无关组的加长组仍无关】

一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。 [2] 

【相关组的缩短组仍相关】

若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

定理

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关 [2]  。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】

参考资料：百度百科-线性相关