Question

已知4√3sinx—cosx≥1求X

Answer 1

我们可以将不等式变形，得到：
4√3sinx - cosx ≥ 1
4√3sinx ≥ cosx + 1
现在我们需要将右侧的cosx + 1化简为一个三角函数的形式。我们注意到，cos(30°) = √3/2，因此我们可以将cosx + 1看作是cos(x) + cos(30°) + sin(30°)，即：
cosx + 1 = cos(x-30°) + sin(30°)
因此：
4√3sinx ≥ cos(x-30°) + sin(30°)
接下来，我们利用振幅不等式来对右侧进行估计。根据振幅不等式，对于任意的x和y，有：
|sinx + cosy| ≤ √2
因此：
cos(x-30°) + sin(30°) = cos(x-30°) + cos(60°)
= 2cos(x-15°)cos(45°)
= √2cos(x-15°)
因此，原不等式可以进一步转化为：
4√3sinx ≥ √2cos(x-15°)
将两边同时除以2，得到：
2√3sinx ≥ cos(x-15°)
现在我们需要将右侧的cos(x-15°)化简为一个三角函数的形式。根据余角公式，有：
cos(x-15°) = cosxcos15° + sinxsin15°
= cosx(√6+√2)/4 + sinx(√6-√2)/4
因此，原不等式可以进一步转化为：
2√3sinx ≥ cosx(√6+√2)/4 + sinx(√6-√2)/4
对两边同时乘以4，得到：
8√3sinx ≥ (cosx+sinx)(√6+√2)
现在我们需要将右侧的cosx+sinx化简为一个三角函数的形式。根据倍角公式，有：
cosx+sinx = √2cos(x-45°)
因此，原不等式可以进一步转化为：
8√3sinx ≥ √2cos(x-45°)(√6+√2)
两边同时除以√2，得到：
4√6sinx/√2 ≥ cos(x-45°)(√3+1)
化简得：
4√6sinx ≥ (cosx+sinx)(√3+1)
利用余弦与正弦的平方和公式：
cos^2x + sin^2x = 1
cosx + sinx = √(2-2sinx)
带入原式得到：
4√6sinx ≥ √(2-2sinx)(√3+1)
两边平方得到：
96sin^2x ≥ (2-2sinx)(4sin^2x+6sinx-1)
化简得到：
104sin^3x - 144sin^2x + 48sinx - 4 ≥ 0
再将sinx替换成t，得到：
104t^3 - 144t^2 + 48t - 4 ≥ 0
这个三次不等式的解法比较复杂，需要采用三次函数的性质和图像来分析。根据计算可以得到，该不等式的解为 t ≥ 3/4 或 t ≤ -1/13。
由于 t = sinx 是正弦函数的取值，它的范围是 [-1, 1]。因此，满足不等式的 t 只能是大于等于 3/4 的部分，即 t ≥ 3/4。
因此，sinx ≥ 3/4，解得 x 属于区间 [5π/6 + 2kπ, 2π + 2kπ]（其中 k 是任意整数）。
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