Question

为什么曲线积分只与路径有关，与起点和终点无关？

Answer 1

证明：

设Ω是平面xyz空间的曲面单连通闭区域，函数P(x, y, z) 、Q(x, y, z) 、R(x, y, z)

在Ω内都具有一阶连续偏导数，则下列四种情况两两等价

第一种情况：

沿 Ω 内任何光滑闭曲线C，恒有

第二种情况：

对 Ω  内任何一个光滑曲线段C(A, B)，曲线积分

仅与 C(A, B)的起点A、终点B有关，而与路径无关。

第三种情况： Pdx + Qdy + Rdz  在 Ω 内是某一个函数 u(x, y, z)的全微分，即在内恒有du = Pdx + Qdy + Rdz

第四种情况：在  Ω 内每一点处恒有

由上述第二种情况可知，曲线积分仅与所求曲线的起点A、终点B有关，而与路径无关。

证毕。

扩展资料：

对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。

一个在任何条件下适用的条件是原函数存在。
如果积分区域是单连通区域，如果āQ/āx=āP/āy也满足积分与路径无关

在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。

如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立. 

注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。

参考资料：

百度百科-曲线积分与路径无关性