Question

如何用向量的知识证明两个平面平行或垂直？

Answer 1

如图所示：

根据平面的点法式方程得出：

设一平面通过已知点M0（x1,y1,z1）且垂直于非零向量n=(A,B，C)，则有：

A（x-x1）+B(y-y1)+C(z-z1)=0。

上式称为平面的点法式方程：

由x+y+z=0可知，该平面通过原点（因为D=0），当D=0时，Ax+By+Cz=0的平面过原点。

将原点代入平面的点法式方程得：

Ax+By+Cz=0。

即A=1，B=1，C=1。

法向量n=(1,1,1)。

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行。

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补。

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影。

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。利用这个原理也可以求异面直线的距离。