Question

如何用初等行变换求矩阵的秩？

Answer 1

首先应该是齐次的线性方程组。

方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。

我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。

未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。

类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。