Question

讨论f(x)=3x-3x三次方的单调性？

Answer 1

我们可以求解函数 f(x)=3x-3x^3 的导数来确定其单调性。
首先，我们求导数 f'(x)：
f'(x) = 3 - 3(3x^2)
= 3 - 9x^2
接下来，我们需要找出 f'(x) 的零点来确定函数 f(x) 的临界点。
令 f'(x) = 0，得到方程：
3 - 9x^2 = 0
解这个方程，可以得到 x = ±sqrt(1/3)。
现在我们可以绘制函数 f(x) 的数轴，并标记出临界点和 x 轴上的一些测试点来确定函数的单调性。
测试点：
1. x < -sqrt(1/3)
2. -sqrt(1/3) < x < sqrt(1/3)
3. x > sqrt(1/3)
将测试点带入 f'(x) 的符号表达式进行检查。
1. 当 x < -sqrt(1/3)：
代入 f'(-2) = 3 - 9(-2)^2 = -69，f'(-2) < 0。
代入 f'(-1) = 3 - 9(-1)^2 = -6，f'(-1) < 0。
所以在这个区间内 f(x) 是递减的。
2. 当 -sqrt(1/3) < x < sqrt(1/3)：
代入 f'(-0.1) = 3 - 9(-0.1)^2 = 2.91，f'(-0.1) > 0。
代入 f'(0.1) = 3 - 9(0.1)^2 = 2.91，f'(0.1) > 0。
所以在这个区间内 f(x) 是增加的。
3. 当 x > sqrt(1/3)：
代入 f'(2) = 3 - 9(2)^2 = -69，f'(2) < 0。
代入 f'(1) = 3 - 9(1)^2 = -6，f'(1) < 0。
所以在这个区间内 f(x) 是递减的。
综上所述，函数 f(x) 的单调性如下：
在区间 (-∞, -sqrt(1/3)) 和 (sqrt(1/3), +∞) 上是递减的，
在区间 (-sqrt(1/3), sqrt(1/3)) 上是增加的。
注意：在 x = -sqrt(1/3) 和 x = sqrt(1/3) 这两个点上，函数 f(x) 有一个局部极值。