Question

证明:数列{aₙ}的前n项和且aₙ=n×2ⁿ⁻¹？

Answer 1

要证明数列 {aₙ} 的前 n 项和是 aₙ = n × 2ⁿ⁻¹，我们可以使用数学归纳法。
首先，我们验证当 n = 1 时，等式成立。左边的前 1 项和是 a₁，而 a₁ = 1 × 2⁰ = 1，与右边相等。
接下来，假设当 n = k 时等式成立，即 aₖ = k × 2ᵏ⁻¹。
然后，我们来证明当 n = k+1 时等式也成立。左边的前 k+1 项和是 aₖ₊₁，可以表示为 aₖ₊₁ = aₖ + aₖ₊₁。根据归纳假设，我们有 aₖ = k × 2ᵏ⁻¹。我们还需要求出 aₖ₊₁ 的表达式。
根据数列 {aₙ} 的定义，我们有 aₖ₊₁ = (k+1) × 2ᵏ⁺¹⁻¹ = (k+1) × 2ᵏ.
现在我们将左边的前 k+1 项和表示为 aₖ + aₖ₊₁：
aₖ + aₖ₊₁ = k × 2ᵏ⁻¹ + (k+1) × 2ᵏ = 2ᵏ × k + 2ᵏ × (k+1) = 2ᵏ × (k + (k+1)) = 2ᵏ × (2k + 1) = 2ᵏ × 2 × k + 2ᵏ × 1 = k × 2ᵏ + 2ᵏ = (k+1) × 2ᵏ = aₖ₊₁.
因此，当 n = k+1 时等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们证明了对于任意正整数 n，数列 {aₙ} 的前 n 项和 aₙ = n × 2ⁿ⁻¹ 成立。