微分方程的通解是什么?

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金心球桧mm
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二阶微分方程的3种通解公式是y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x,n阶微分方程就带有n个常数,Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。

第一种是由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种是通解是一个解集包含了所有符合这个方程的解,n阶微分方程就带有n个常数,与是否线性无关。

第三种是先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解,特征方程为2r²+r-1=0,(2r-1)(r+1)=0,r=1/2或r=-1。故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。


二阶微分方程

对于一元函数来说,如果在该方程中出现因变量的二阶导数,我们就称为二阶微分方程,其一般形式为F(x,y,y',y'')=0。在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程,相应的求解方法称为降阶法。

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十全秀才95
2023-07-04 · TA获得超过434个赞
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解:如果有具体方程,请把题目发过来,最好是图片
例如:
解微分方程为dy/dx+(1+xy³)/(1+x³y)=0,(1+x³y)dy+(1+xy³)dx=0,dy+x³ydy+dx+xy³dx=0,dy+dx+x³ydy+y³xdx=0,d(x+y)+x³y³(dy/y²+dx/x²)=0,d(x+y)-x³y³(-dy/y²-dx/x²)=0,d(x+y)=x³y³d(1/y+1/x),d(x+y)=x³y³d[(x+y)/xy];设x+y=u,xy=v,方程化为du=v³d(u/v),再设u=zv,方程化为d(zv)=v³dz,zdv+vdz=v³dz,zdv=(v³-v)dz,dv/(v³-v)=dz/z,vdv/(v²-1)-dv/v=dz/z,0.5ln|v²-1|-ln|v|=ln|z|+0.5ln|a|(a为任意非零常数),ln|v²-1|=ln|av²z²|,v²-1=av²z²,有v²-1=au²,微分方程的解为x²y²-1=a(x+y)²请参考
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