Question

求根号下(1+ x^2)分之一的积分

Answer 1

根号下 (1 + x^2) 分之一的积分可以表示为：
∫(1/√(1 + x^2)) dx
这是一个常见的积分形式，也被称为反正弦积分。为了求解这个积分，可以进行变量替换。
令 x = tanθ，其中 θ 是一个新的变量。则 dx = sec^2θ dθ，并且 1 + x^2 = 1 + tan^2θ = sec^2θ。
将这些替换应用于原始积分：
∫(1/√(1 + x^2)) dx = ∫(1/√(sec^2θ)) sec^2θ dθ
简化后可得：
∫(1/√(1 + x^2)) dx = ∫dθ = θ + C
回顾之前的变量替换，我们有 x = tanθ。因此，θ = arctan(x)。
因此，最终的积分结果是：
∫(1/√(1 + x^2)) dx = arctan(x) + C
其中，C 是积分常数。这就是给定函数的积分表达式。