Question

函数连续，可导，一定连续吗，导数存在吗？

Answer 1

函数连续并且可导并不意味着一定连续，导数存在。连续性和可导性是两个不同的性质。
一个函数在某个点处连续意味着在该点处左右极限存在且相等，而可导性则要求在该点处的导数存在。函数可导性是连续性的一个更强的条件，因为可导性要求函数在某个点处的左右导数存在且相等。
举个例子，考虑函数f(x) = |x|，该函数在x = 0处不可导，因为在x = 0处左右导数不相等。虽然函数在x = 0处不可导，但在整个定义域上仍然连续。
因此，函数连续并可导不一定意味着函数一定连续且导数存在。但是如果一个函数既连续又可导，则导数一定存在。

Answer 2

1.上图例子说明，当导数的极限不存在时，有可能有导数的。

2.某点的导数f'(x0)与导数的极限limf'(x)是不一样的。可导时，导函数的极限有可能不存在的;也有可能是存在的。总之，函数在一点可导时，导函数的极限是否存在，是不一定的。

3.当导函数的极限值等于这一点导数值时，则导函数f'(x)在这点连续。

4.可导时，导函数的极限不一定存在。但导函数连续时，函数一定在这点可导。