Question

已知x,y,z都属于实数，求（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值

需要过程或提示

Answer 1

(1)x^2,y^2,z^2都是>0的，所以当x>0,y>0,z>0的时候可以得到最大值。(或者全负),我们不妨假设x,y,z都是>0的。 (2)当x<y的时候xy>x^2 而2yz<=y^2+z^2 所以我们只有在x>y=z的情况下得到最大值 (xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2) =(xy+2y^2)/(x^2+2y^2) z=y =k xy+2y^2=kx^2+2ky^2 (2k-2)y^2-xy+kx^2=0 这个关于y的方程的判别式 =x^2-4*(2k-2)*kx^2>=0 (保证y有解) x^2*(1-8(k-1)k)>=0 (x^2>=0) 1-8(k-1)k>=0 -8k^2+8k+1>=0 8k^2-8k-1<=0 所以1/2-√6/4<=k<=1/2+√6/4 所以k的最大值为1/2+√6/4

Answer 2

设X/Y=u，Z/Y=v
则原式=（u+2v）/（u^2+v^2+1)
设上式等于1/m（m>0）,需要求m的最小值
则
u^2+v^2+1=mu+2mv
（u-m/2)^2+(v-m)^2=5/4*m^2-1>=0
从而m^2>=4/5
所以原式<=sqrt5/2
当X/Y=u=sqrt5/4，Z/Y=v=sqrt5/2时取等号
sqrt代表开平方